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Categoría: Investigación de Operaciones
Indice
Respuestas a Preguntas de Revisión
Fernando Marrero Delgado. Doctor en Ciencias Técnicas. Máster en Informática Aplicada. Ingeniero Industrial. Profesor Auxiliar. Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba. Email: fmarrero@fce.uclv.edu.cu
Javier Asencio García. Doctor en Ciencias Técnicas. Ingeniero Industrial. Profesor Titular. Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba. Email: asencio@fce.uclv.edu.cu
René Abreu Ledón. Máster en Ingeniería Industrial. Ingeniero Industrial. Profesor Asistente Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba. Email: rabreu@fce.uclv.edu.cu
René Orozco Sánchez. Ingeniero Industrial. Aspirante a Máster del Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba. Email: fmarrero@fce.uclv.edu.cu
Hugo R. Granela Martín. Doctor en Ciencias Técnicas. Ingeniero Industrial. Profesor Auxiliar. Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba. Email: hugran@fce.uclv.edu.cu
Alexander Quiroga Orizondo. Aspirante a Ingeniero Industrial. Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba.
Ronald Díaz Casañas. Aspirante a Ingeniero Industrial. Departamento de Ingeniería Industrial. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara. Cuba.
Programación meta, Investigación de Operaciones, Métodos Multicriterios
Los procesos de toma de decisiones se han venido analizando tradicionalmente sobre la base de un paradigma que puede esquematizarse de la siguiente forma. En primer lugar, se establece el conjunto de soluciones posibles o factibles del problema de decisión analizado. A continuación, fundándose en un criterio, se asocia a cada solución o alternativa un número que representa el grado de deseabilidad que tiene cada alternativa par el centro decisor, es decir, se establece una ordenación de las soluciones factibles. Seguidamente, utilizando técnicas matemáticas más o menos sofisticadas, se procede a buscar entre las soluciones factibles aquella que posee un mayor grado de deseabilidad. Dicha alternativa es la solución óptima.
Este sencillo marco de análisis es el que subyace a cualquier problema de decisión investigado dentro del paradigma tradicional de la optimización. Los problemas de decisión abordados por medios de la programación matemática se ajustan, asimismo, a este tipo de estructura teórica. Así, en esta clase de problemas, las soluciones posibles se ordenan con arreglo a un cierto criterio que representa las preferencias del centro decisor. Esta función de criterio recibe el nombre de función objetivo. Recurriendo a técnicas matemáticas relativamente sofisticadas se establece la solución óptima como aquella solución factible para la que la función objetivo alcanza un valor óptimo.
Desde un punto de vista de contenido empírico, el marco teórico anterior presenta importantes debilidades que lo desvía considerablemente de los procesos reales de tomas de decisiones. En efecto, en muchos casos de la vida cotidiana, los centro decisores no están interesados en ordenar las soluciones factibles con arreglo a un único criterio, sino que desean efectuar esta tarea con arreglos a diferentes criterios que reflejan sus particularidades y preferencias.
Dentro de la estructura del paradigma multicriterio se debe analizar primeramente una serie de conceptos y definiciones.
Atributo: Este concepto se refiere a valores del centro decisor relacionados con una realidad objetiva. Estos valores pueden medirse independientemente de los deseos del centro decisor, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función matemática f(x) de las variables de decisión.
Objetivos: Representan direcciones de mejora de los atributos. La mejora puede interpretarse en el sentido (más del atributo mejor) o bien (menos del atributo mejor). El primer caso corresponde a un proceso de maximización y el segundo a uno de minimización de las funciones que corresponden a los atributos que reflejan los valores del centro decisor.
Como paso previo a la definición de meta se introducirá el concepto de nivel de aspiración. Un nivel de aspiración representa un nivel aceptable de logro para el correspondiente atributo. La combinación de un nivel de aspiración con un atributo genera una meta.
Finalmente, el término criterio se utiliza como un término general que engloba los tres conceptos precedentes (atributo, objetivo y metas). En otras palabras, los criterios constituyen los atributos, objetivos o metas que se consideran relevantes para un cierto problema decisional. Por consiguiente, la teoría de la decisión multicriterio constituye un marco general o paradigma decisional en el que subyacen diferentes atributos, objetivos o metas.
La programación multiobjetivo constituye un enfoque multicriterio de gran potencialidad cuando el contexto decisional está definido por una serie de objetivos a optimizar que deben de satisfacer un determinado conjunto de restricciones. Como la optimización simultánea de todos los objetivos es usualmente imposible, pues en la vida real entre los objetivos que pretende optimizar un centro decisor suele existir un cierto grado de conflicto el enfoque multiobjetivo en vez de intentar determinar un óptimo existente pretende establecer el conjunto de soluciones eficientes o pareto óptimas.
Pese a lo que se acaba de comentar, la utilidad de estos enfoques se reduce considerablemente en problemas decisionales de un tamaño relativamente elevado. De las ideas que se acaban de exponer se desprende que en problemas complejos que conllevan la formulación de modelos de cierto tamaño, los enfoques multiobjetivos son de limitado interés y tienen que dejar paso a otros enfoques con una solidez teórica tal vez menor, pero con una operatividad muy superior. Dentro de esta línea pragmática puede encuadrarse la programación por metas.
PROGRAMACION POR METAS
La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por meta, es decir, también se tiene una función objetivo que optimizar sujeta a una o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo. Una vez que se establece un problema en el formato del modelo general de programación lineal, para obtener la solución puede aplicarse el MÉTODO SIMPLEX modificado solo para tomar en cuenta las prioridades.
La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples.
El primer paso en la formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Así para el atributo i-ésimo, se tiene la siguiente meta: donde, como es habitual, f(x) representa la expresión matemática del atributo i-ésimo, Ti su nivel de aspiración, ni y pi las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Las variables de desviación negativa cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de desviación positiva cuantifican el exceso de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración.
Como un nivel de aspiración no puede simultáneamente sobrepasarse y quedar por debajo de él, al menos una de las dos variables de desviación tomarán valor cero cuando la meta alcanza exactamente su nivel de aspiración.
Una vez clarificado el significado de las variables de desviación, es importante introducir el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se dice que no es deseada cuando al centro decisor le interesa que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño(esto es cero). Cuando la meta deriva de un atributo del tipo más del atributo mejor (objetivo a maximizar) la variable no deseada (a minimizar), será la variable de desviación negativa (cuantificación de la falta de logro). Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de desviación negativa como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar.
Supóngase que un fabricante quiere planear producir por lo menos tres mesas se escribirá la restricción: T>=3
Esto no permite ningún valor por debajo de 3. Si hubiera otra restricción en conflicto con esta, el problema no tendría solución factible.
Ahora bien, los objetivos administrativos son mucho menos rígidos y absolutos. Una manera más real para establecer las restricciones de las mesas sería: "si es posible, nos gustaría hacer tres mesas por lo menos. Esto tiene una prioridad alta". En forma análoga, los objetivos de las ganancias o de los rendimientos sobre inversiones se expresan en términos de metas deseadas: hacer lo posible por obtener ganancias de $1000 el próximo año o buscar un rendimiento sobre inversiones del 10% antes de impuestos. Sin duda pueden ocurrir desviaciones arriba o abajo, alrededor de una meta. Si la restricción de las mesas es fabricar por lo menos tres, esto puede escribirse como: T + Dut - Dot = 3
En donde Dut - Cantidad que falta para lograr el objetivo de las mesas.
Dot - Cantidad que sobrepasa el objetivo de las mesas.
T- Número de mesas.
Nótese que las restricciones de meta siempre se escriben como igualdades. El primer subíndice de la variable de desviación indica la variación hacia abajo o hacia arriba de la meta. El segundo subíndice indica de que se trata el objetivo, en este caso mesas.
Existen cuatro formas de restricciones de objetivos, según se permita variación hacia arriba o hacia abajo:
No existe algo en la programación por objetivos que prohiba incluir restricciones que no sean de objetivo o restricciones de recurso.
El significado de las variables de desviación no deseadas puede clarificarse por medio del siguiente cuadro.
Metas y variables de desviación
| Forma inicial de la meta | Forma de la meta transformada |
Variable de desviación no deseada (a minimizar) |
Fi(x)³ ti |
fi(x)+ ni- pi = ti |
ni |
Fi(x)£ ti |
fi(x)+ ni- pi = ti |
pi |
Fi(x)=ti |
fi(x)+ ni- pi = ti |
ni+ pi |
Formulación de la función objetivo
La función objetivo para un problema de programación por meta siempre es minimizar alguna combinación de variables de desviación. Desde un punto de vista de toma de decisiones administrativa, esto significa que se esta buscando la combinación de variables reales por ejemplo (mesas y sillas) que cumplan mejor con todos los objetivos. Esto podría llamarse optimizar un conjunto de objetivos "satisfactorios" o satisfacer.
La forma exacta de la función objetivo varia según la respuesta a estas dos preguntas:
Quizás no sea una tarea fácil dar un rango a los objetivos de acuerdo con su importancia pero es algo que la mayoría de las personas entienden y pueden lograr. En la programación por objetivos se le asigna la prioridad P1al objetivo más importante, siguiendo P2 a una prioridad más baja. No existe limite en el numero de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad para cada variable de desviación. Se permiten empates o prioridades iguales.
Los problemas de programación por meta se resuelven en orden de prioridad. Es decir, se prueba la optimización en el nivel de prioridad más alto ignorando las prioridades más bajas hasta optimizar este nivel.
Ejemplo:
La compañía Aedis ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes: Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos. En realidad, el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Aedis generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y Aedis desearía evitar esto tanto como fuera posible.
Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos.
Para el período que es está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso(en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos:
| Planta | capacidad de exceso de producción(unidades) | capacidad de embarque(pies cúbicos) |
| 1 | 750 | 12000 |
| 2 | 300 | 10000 |
| 3 | 450 | 6500 |
Los productos 1,2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15,18 y 12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Aedis puede esperar ventas tan altas como 900, 1000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el periodo de planeación en consideración.
Dada la situación que hemos descrito, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente (P1=más importante):
P1. Lograr una utilidad perseguida de $15000.
P2. Utilizar tanto de la capacidad de exceso como sea posible. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1,5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3.
P3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de la capacidad entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante que favorecer a la planta 1con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3
P4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que este tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad.
P5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas.
P6. No exceder la capacidad de embarque disponible.
Formulación del modelo
Los siguientes pasos se requieren para formular el modelo de programación meta.
1-Exceso en las restricciones de capacidad
N- desviación negativa.
P- desviación positiva.
X11+ X21 + X31 + N1- P1 =750
X12 + X22 + X32 + N2- P2 =300
X13 + X23 + X33 + N3- P3 =450.
Donde Xij = número de unidades del producto i producidas en la planta j
N1,N2,N3 =exceso de capacidad no utilizada en las plantas 1,2 y 3 respectivamente.
P1,P2,P3 = cantidad mediante la cual la capacidad de exceso se excede las plantas 1,2 y 3 respectivamente.
2-Resricciones en el requisito de espacio
30X11 + 20X21 + 15X31 + N4 - P4=12000
30X12 + 20X22 + 15X32 + N5 - P5=10000
30X13 + 20X23 + 15X33 + N6 - P6= 6500
N4,N5,N6 =número de unidades de capacidad de embarque disponible no utilizada en las plantas 1,2 y 3, respectivamente.
P4,P5,P6 = número de unidades de capacidad adicional de embarque requerida en las plantas 1,2 y 3, respectivamente
3-Restricciones en las ventas esperadas
X11 + X12 + X13 + N7 - P7=900
X21 + X2 + X23 + N8 - P8=1000
X31 + X32 + X33 + N9 - P9= 700
N7,N8,N9 =número de unidades sublogradas de las ventas esperadas de los productos 1,2 y 3 respectivamente.
P7,P8,P9 = número de unidades sobrelogradas de las ventas esperadas de los productos 1,2 y 3 respectivamente.
4-Balance de carga de trabajo
X11 + X21 + X31/ 750 = X12 + X22 + X32/ 300
X11 + X21 + X31/ 750 = X13 + X23 + X33 / 450
Este balance de ecuaciones puede escribirse como una restricción meta por medio de una simple división y por transposición del miembro derecho como sigue (por transitividad, solamente dos restricciones de balance son necesarias):
0.0013X11 + 0.0013X21 + 0.0013X31 - 0.0033X12 - 0.0033X32 - P0.0033X32 + +N10 - P10 =0
0.0013X11 + 0.0013X21 + 0.0013X31 - 0.0022X13 - 0.00223X23 - 0.00223X33 + N11 - P11=0
N10, N11= número de unidades producidas demasiado bajas con relación a las producidas en las plantas 2 y 3, respectivamente.
P10, P11= Número de unidades producidas en exceso relativas a las que es producen en las plantas 2 y 3, respectivamente.
5- Restricción de utilidad
15(X11+ X12+ X13) + 18(X21+ X22+ X23) + 12(X31+ X32+ X33) + N12 - P12=15000
N12 =suma en dólares por debajo de la utilidad perseguida.
P12 = suma en dólares por encima de la utilidad perseguida.
Si la meta de utilidad no se enuncia, se puede restringir el lado derecho de esta ecuación para que sea cero y determinar cuál sería la utilidad. Puesto que todas las variables reales (Xij) y las variables de desviación (N ó P) son no negativas, el valor de (N12, P12) sería la utilidad real.
6- Función objetivo
Minimizar Z=PR1(N12+ P12)+ 1,5PR2(N1)+ PR2(N2+ N3)+ 2PR3(N10+ N11)+ PR3(P10+ P11)+PR4(N8)+ PR5(N7+ N9)+ PR6(P4+ P5+ P6)
Puesto que la administración desea conseguir una utilidad perseguida de $15000 con la más alta prioridad, se asigna PR1 a las variables de desviación en la meta de restricción de utilidad. La segunda meta de la administración sería utilizar el exceso de capacidad de planta hasta donde fuera posible. Sin embargo, era preferible utilizar el exceso en la planta 1 sobre las plantas 2 y 3 en una relación de 1,5 a 1. Esta situación presumiblemente representa una distinción en los costos de operación de las diferentes plantas. Para reflejar las prioridades relativas de la administración, se modifica la formulación estándar de la función objetivo(que sería(PR2(N1+ N2+ N3)) a 1,5PR2N1 + PR2(N2+ N3), que pondera el logro de la minimización de la desviación 1 con un factor de 3/2 vez. El segundo nivel general de prioridades administrativas que tienen que ver con el problema de PR2. La tercera meta de la administración era lograr un balance de subutilizara la planta 1 en vez de sobreutilizarla, debido a factores adicionales desfavorables que existían allí y no se presentan en las plantas 2 y 3. Por tanto, se asigna 2PR3 a N10 y N11 y PR3 a P10 y P11. Puesto que la cuarta meta era lograr las ventas esperadas del producto 2, se asigna PR4 a N8. A N7 y N9 asignamos PR5, pues la quinta meta es el logro de estas ventas esperadas. Aquí no preocupa el sobrelogro de las ventas pronosticadas, puesto que se puede, si hay espacio disponible, almacenar un inventario. Si no es posible, las restricciones en la capacidad de embarque, que tienen prioridad más alta, tendrán en cuenta esta situación. Puesto que la sexta meta de la administración es no exceder la capacidad de embarque, se asigna a P4, P5 y P6 el valor de PR6.
METODOS DE SOLUCION
Si se supone el problema de planificar la producción de una papelera de propiedad pública en la que existen dos posibles productos: pulpa celulosa obtenida por medios químicos o pulpa celulosa obtenida por medios mecánicos. Se representará por X1 y X2, respectivamente, las toneladas diarias de pulpa de celulosa obtenida por los dos mencionados procedimientos. Las capacidades máximas de producción se estiman en 300 y 200 toneladas/día para cada uno de los dos tipos de pasta de celulosa. Cada tonelada de pasta de celulosa producida demanda un jornal. La empresa dispone de una plantilla de 400 trabajadores, no deseando contratar mano de obra eventual. El margen bruto(ingresos menos costos variables)por tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios químicos es de $1000 , siendo de $3000 el que se obtiene a través de medios mecánicos Los costos fijos de la papelera se estiman en 3300 unidades/día: la empresa desearía, al menos, cubrir los costos fijos.
Las preferencias de la empresa se concentran en la maximización del margen bruto(objetivo económico) y el la minimización del daño generado en el río en el que la papelera vierte sus residuos productivos (objetivo ambiental). Se estima que los residuos producidos por cada tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios mecánicos y por medios químicos generan unas demandas de oxígeno en las aguas del río de 1 y 2 unidades. A la vista de estos datos, la estructura matemática del modelo multiobjetivo es la siguiente:
Se formulará el modelo como un modelo de programación por metas. Para ello, se consideran los términos independientes no como cantidades rígidas que hay que alcanzar para que la solución sea factible, sino como niveles de aspiración que el centro decisor desea satisfacer en la medida de lo posible. Es decir, las restricciones rígidas iniciales se convierten en metas o restricciones(blandas) que pueden violarse sin que ello genere soluciones imposibles. Para desarrollar este ejercicio se asocia al atributo demanda biológica de oxígeno un nivel de aspiración de 300 unidades, a los demás atributos se les asocia como nivel de aspiración el término independiente de la correspondiente restricción rígida, excepto para el atributo margen bruto, al que se le asocia un nivel de aspiración de 400 unidades. De esta forma, se tiene la siguiente lista de metas:
G1:X1 + 2X2 + N1 - P1=300(demanda biológica de oxígeno)
G2:1000X1 + 3000X2 + N2 - P2=400( margen bruto)
G3:X1 + X2 + N3 - P3=400 (empleo)
G4:X1 + N4 - P4=300(capacidad de producción)
G5:X2 + N5 - P5=200(capacidad de producción)
Seguidamente, se pasa a determinar las variables de desviación no deseadas. Para la meta G1 la variable de desviación no deseada sería la P1, pues obviamente se desea alcanzar una demanda biológica de oxígeno lo más pequeña posible(de ser posible menor de 300 unidades). Para la meta G2 la variable de desviación no deseada será la N2, pues se desea alcanzar un margen bruto lo más grande posible(de ser posible mayor de 400 u). Para la meta G3 se supone que al centro decisor no le interesa ni quedarse corto con respecto al nivel de aspiración (mano de obra ociosa), ni quedarse largo(contratación adicional de mano de obra), en tal caso, tanto N3 como P3 son variables de desviación no deseadas, finalmente, el centro decisor no desea superar sus capacidades de producción, lo que implicaría recurrir a turnos extraordinarios, en consecuencia, las variables P4 y P5 son no deseadas.
Una vez determinadas las variables de desviación no deseadas, el paso siguiente en la formulación de un modelo de programación por metas consiste en proceder a la minimización de dichas variables. El proceso de minimización puede acometerse de diferentes maneras. Puede decirse que cada una de estas maneras origina una variante de la programación por metas. Seguidamente se pasa a exponer las variantes más utilizadas.
PROGRAMACION POR METAS PONDERADAS
La manera más intuitiva de acometer la minimización de las variables de desviación no deseadas consiste en minimizar la suma de dichas variables. así, para nuestro ejemplo, tendríamos que proceder a minimizar la siguiente suma:
MIN P1 + N2 + N3 + P3 + P4 + P5 (4)
Ahora bien, la expresión (4) carece de significado y no debe de utilizarse como surrogado de las preferencias del centro decisor por las siguientes razones. La expresión (4) suma variables de desviación medidas en unidades diferentes(unidades monetarias, número de jornales, toneladas de pasta de papel, etc.) por lo que su suma no tiene significado, es como si sumáramos (caña de cerveza con kilos de patatas). Además, como los valores absolutos de los niveles de aspiración son muy diferentes, la minimización de (4) puede producir soluciones sesgadas hacia un mayor cumplimiento de las metas con niveles de aspiración elevados. Ambos problemas pueden evitarse si en vez de minimizar una suma de desviaciones absolutas procedemos a minimizar una suma de desviaciones porcentuales. Así, la expresión (4) se convierte en:
Min. P1/300 + N2/400 + (N3+P3)/400 + P4/300 + P5/200 (5)
En efecto, como los porcentajes carecen de dimensión, la suma dada por (5) no presenta problema de homogeneidad. Además, el procedimiento de normalización empleado elimina cualquier sesgo hacia el cumplimiento de metas con niveles de aspiración elevados. No obstante, la expresión (5) presenta todavía un problema para poderla considerar un surrogado de las preferencias del centro decisor, en efecto, en la formulación dada por (5) subyace el supuesto de que el centro decisor da la misma importancia al logro de todas las metas, lo cual no tiene necesariamente que ser cierto. Este problema puede superarse sustituyendo la expresión (5) por:
Min. W1 P1/300 + W2 N2/400 + W3 (N3+P3)/400 + W4 P4/300 + W5 P5/200.
Donde los coeficientes W ponderan la importancia relativa que el centro decisor asigna a la realización de cada meta. Este método consiste en minimizar la suma ponderada de las variables de desviación no deseadas, expresadas en términos porcentuales, se conoce en la literatura con el nombre de programación ponderada. Para nuestro ejemplo, a formulación completa del modelo de metas ponderadas sería el siguiente:
Min W1 P1/300 + W2 N2/400 + W3 (N3+P3)/400 + W4 P4/300 + W5 P5/200
Sujeto a:
G1: X1 + 2X2 + N1 - P1=300
G2: 1000X1 + 3000X2 + N2 - P2=400
G3: X1 + X2 + N3 - P3=400
G4: X1 + N4 - P4=300
G5: X2 + N5 - P5=200
Algorítmicamente, la estructura del modelo(5) corresponde a la de un modelo de programación lineal tradicional que puede resolverse de una manera inmediata recurriendo al Simplex. Para diferentes sistemas de pesos se irán generando distintas soluciones. Así, si hacemos W1=...=W5=1, esto es, si el centro decisor asigna la misma importancia a la realización de las diferentes metas, se obtiene la siguiente solución óptima:
| N1=0 X1=300 X2=33,33 |
| N3=66,66 P1=66,66 N2=P2=0 |
| P3=0 N4=P4=0 |
| N5=166,66 P5=0 |
La solución obtenida permite la completa realización de la meta G2(margen bruto), G4 y G5(capacidades de producción). Por el contrario, en lo referente a la meta G1, se supera la demanda biológica de oxígeno deseada en 66,66 unidades y en cuanto a la meta G3, no se utilizan 66,66 jornales de los 400 disponibles obviamente, los análisis basados en modelos de programación por metas pueden enriquecerse considerablemente, sometiendo los pesos preferenciales a un análisis de sensibilidad. De esta manera, para cada conjunto de pesos ensayados se obtendrá la solución óptima del modelo que mejor se adecua a la estructura de preferencias del centro decisor que surroga el correspondiente conjunto de pesos.
PROGRAMACION POR METAS LEXICOGRAFICAS.
En la programación por metas lexicográficas, las metas situadas en la prioridad más alta se satisfacen en la medida de lo posible, solo entonces se considera la posible satisfacción de metas situadas en prioridades más bajas. Es decir, las preferencias se ordenan igual que las palabras en un léxico o diccionario, de ahí la denominación de programación por metas lexicográficas.
Con el objetivo de ilustrar la estructura de este enfoque, supongamos que para el centro decisor la prioridad primera Q1 está formada por las metas G4 y G5. Esto es, para el centro decisor las primeras metas que se deben satisfacer de una manera absoluta y excluyente son las que pretendan garantizar que no se superen las capacidades de producción de la fábrica. La siguiente prioridad en orden de importancia Q2 está formada por la meta G1, que pretende que el plan de producción genere una demanda biológica de oxígeno de, como máximo, 300 unidades. La prioridad Q3 está formada por la meta G2, que pretende alcanzar un margen bruto de almenos 400.00 u. Finalmente, la última prioridad Q4, está formada por la meta G3, que pretende utilizar, exactamente, la fuerza de trabajo disponible. Consecuentemente, el proceso completo de minimización lexicográfica de las variables de desviación no deseadas se traduce en el siguiente vector:
LEX MIN a=[ (P4+P5);(P1);(N2);(N3+P3)]
Sujeto a:
Q2 G1: X1 + 2X2 + N1 - P1=300
Q3 G2: 1000X1 + 3000X2 + N2 - P2=400
Q4 G3: X1 + X2 + N3 - P3=400
Q1 G4: X1 + N4 - P4=300
Q1 G5: X2 + N5 - P5=200
Esta programación por metas lexicográficas puede resolverse recurriendo a algunos de los métodos de resolución que, con mayor o menor detalle, se expondrán en los próximos apartados. Recurriendo a cualquiera de estos métodos se obtiene la siguiente solución óptima.
| X1=100 , X2=100 |
| N1=P1=N2=P2=0 |
| N3=200 P3=0 |
| N4=200 P4=0 N5=100 P5=0 |
Con el siguiente vector de logro óptimo:
A* =[ 0,0,0,200] .
La solución obtenida permite el logro completo de las metas G1,G2 y G5 que forman las tres primeras prioridades. Con respecto a la meta G3, que forma la última prioridad, existe una desviación negativa de 200 jornales; es decir, en la solución lexicográficamente óptima, se satisfacen todas las metas excepto la referente a la utilización de toda la fuerza de trabajo, quedando 200 jornales sin utilizar.
Es interesante observar que, aunque las variables P4 y P5 están medidas en las mismas unidades(toneladas/día) y por tanto su suma tiene pleno sentido, sin embargo, como sus correspondientes niveles de aspiración alcanzan valores diferentes, en rigor el término P4+P5 de la función de logro debería de sustituirse por el término (P4/300)+(P5/200), tal como se apuntó en el apartado anterior. Asimismo, es útil comparar las soluciones que han generado los modelos de metas ponderadas y de metas lexicográficas. En el caso del modelo basado en metas ponderadas, la suma de las variables de desviación no deseadas en el óptimo es igual a P1+N3=66,66+66,66=133,32, mientras que en el modelo lexicográfico dicha suma es mayor: N3=200. Esta diferencia es lógica, pues la mayor desviación generada por el modelo lexicográfico queda compensada por un mayor nivel de realización de la meta G1( P1=0 en el modelo (6), mientras que P1=66,66 en el modelo (5)) situado en la segunda prioridad.
EL METODO SECUENCIAL PARA RESOLVER PROGRAMAS LEXICIGRAFICOS.
Este método consiste en resolver una secuencia de programas lineales. El primer programa lineal de la secuencia minimiza la primera componente del vector de logro, sujeta esta minimización a las restricciones(igualdades) correspondientes a la prioridad Q1. El segundo programa lineal minimiza la segunda componente de la función de logro sujeta tanto a las restricciones correspondientes a las prioridades Q1 y Q2, como a los valores de las variables de desviación de la prioridad q1 que se obtuvieron en la solución precedente. El procedimiento secuencial continúa hasta resolver el último programa lineal
Primer problema( primer nivel de prioridad)
Minimizar a1=P4+P5
Sujeto a:
X1 + N4 - P4=300
X2 + N5 - P5=200
Existen óptimos alternativos para las variables de decisión(1*) y para P4=P5=0.
| (1*) la existencia de óptimos alternativos se puede comprobar fácilmente por inspección de la tabla final del simplex. Así, si en esta tabla para al menos una variable no básica su costo reducido es cero, entonces existen óptimos alternativos. |
Segundo problema(segundo nivel de prioridad)
Minimizar a2=P1
Sujeto a:
X1 + N4=300
X2 + N5=200
X1 + 2X2 + N1 - P1=300
Nuevamente existen óptimos alternativos para las variables de decisión y P1=0
Tercer problema( tercer nivel de prioridad).
Minimizar a3=N2
Sujeto a:
X1 + N4=300
X2 + N5=200
X1 + 2X2 + N1=300
1.000X1 + 3.000X2 + N2 - P2=400.000
vuelven a existir óptimos alternativos para las variables de decisión y N2=0
Cuarto problema (cuarto nivel de prioridad).
Minimizar a4=N3 + P3
Sujeto a:
X1 + N4=300
X2 + N5=200
X1 + 2X2 + N1=300
1.000X1 + 3.000X2 - P2=400.000
X1 + X2 + N3 - P3=400
La solución óptima de este programa lineal, y de todo el modelo lexicográfico es: X1=100,X2=100,N3=200, en lo referente a variables de decisión y variables de desviación no deseadas no nulas; se reproduce la solución ofrecida al final del ejercicio planteado como programación por metas lexicográficas.
En definitiva, el método secuencial expuesto exige resolver una secuencia de programas lineales cuyo número máximo coincide con el número de niveles de prioridad que tenga el modelo. El número de programas lineales a resolver se reducirá, cuando al resolver uno de ellos no se detecte la existencia de óptimos alternativos; en tal caso, el proceso de cálculo se detiene no siendo necesario resolver los programas lineales.
APLICACIÓN 2 – PROBLEMAS DE TRANSPORTE.
La Mercury Distributing Company suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde bodegas diferentes. Durante el período de planeación considerado, la compañía no puede cumplir la demanda de los clientes los cuales deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porción de demanda satisfecha entre ciertos clientes. También debido a acuerdos sindicales, la compañía debe satisfacer ciertos requisitos mínimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podría embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse.
El problema de transporte se resume a continuación , los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los márgenes. Note que la demanda total excede al suministro en 1.500 unidades.
| De a cliente 1 cliente2 cliente 3 suministro |
| Bodega 1 10 4 12 3.000 |
| Bodega 2 8 10 3 4.000 |
| Demanda 2.000 1.500 5.000 8.500 7.000 |
La administración ha expresado las siguientes preferencias de las metas en el orden decreciente de importancia(P1= más importante):
P1. Satisfacer la demanda total del cliente 3(entrega garantizada).
P2. Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente.
P3. Minimizar el costo de transporte para los artículos embarcados.
P4. Embarcar por lo menos 1.000 unidades en la ruta de la bodega 2 al cliente 1 (convenio sindical9.
P5. Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros).
P6. Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2.
Formulación del modelo. Se definen las siguientes variables:
Xij= número de unidades embarcadas de la bodega i al cliente j.
Ni= sublogro de la meta en la restricción i-ésima.
Pi= sobrelogro de la meta en la restricción iésima.
1.restricciones de suministro. El suministro se restringe a la capacidad de la bodega, por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de suministro.
X11 + X12 + X13 + N1=3.000
X21 + X22 + X23 + N2=4.000.
2. restricciones de demanda. Supongamos que la compañía nunca desea sobrecumplir la demanda del cliente. Por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de demanda . sin embargo, las desviaciones negativas deben incluirse para identificar el sublogro de las metas de demanda, pues la demanda total excede el suministro total.
X11 + X21 + N3=2.000
X12 + X22 + N4=1.500
X13 + X23 + N5=5.000.
3. meta de convenio sindical. El convenio sindical expresa que al menos 1.000 unidades deben embarcarse de la bodega 2 al cliente 1. La variable N6 representa una desviación negativa de esta meta, mientras que la variable P6 es la cantidad de sobrelogro de la meta.
X21 + N6 - P6=1.000
4. mínima meta de demanda satisfecha. Para evitar desequilibrios grandes de satisfacción de demanda entre los clientes, se incluye una meta de satisfacción de por lo menos el 75% de la demanda de cada uno de los clientes. Las restricciones adecuadas, incluyendo variables de desviación son las siguientes:
X11 + X21 + N7 - P7=1.500
X12 + X22 + N8 - P8=1.125
X13 + X23 + N9 - P9=3.750.
5. meta de peligros en la carretera. Debido a los peligros de la carretera, la Compañía desea minimizar el embarque desde la bodega 1 al cliente 3 y desde la bodega 2 al cliente 2. Por tanto, el nivel de meta para estas restricciones e fija en cero y se minimizan P10 y P11.
X13 - P10=0
X22 - P11=0.
6. meta de balance a clientes. La compañía desea transportar cantidades a los clientes 1 y 2 tales que una proporción igual de la demanda de cada una sea satisfecha. Esto se puede expresar por
(X11+X21)/2.000 = (X12+X22)/1.500.
así, trasponiendo e incorporando variables de desviación, la restricción meta se convierte en
X11 - 1,33X12 + X21 - 1,33X22 + N12 - P12=0.
7. meta del costo de transporte. Puesto que la compañía desea minimizar el costo total de transporte, se impone una meta de cero y se hace un intento por minimizar la desviación positiva de este valor de la meta perseguida.
10X11 + 4X12 + 12X13 + 8X21 + 10X22 + 3X23 - P13=0.
8. función objetivo.
Minimizar Z=PR1(N5)+PR2(N7+N8+N9)+PR3(P13)+PR4(N6)+PR5(1.2P10+P11)+PR6(N12+P12).
Note que para PR5,P10 tiene un coeficiente de 1,2, pues el costo de embarque de la bodega 1 al cliente 3 (c=12) es 1,2 veces mayor que el costo de embarque de la bodega 2 al cliente 2(c=10).
Aplicación 3 – Análisis de portafolio
La Sentinal Finance Company, una compañía pequeña , desea invertir en cuatro acciones de valores. El costo de cada una y la tasa de retorno pronosticada de cada una por cinco analistas de la compañía se presenta a continuación:
| Valor 1 Valor 2 Valor 3 Valor 4 |
| Costo $ 30,00 $45,00 $ 27,00 $ 53,00 |
| Pronóstico 1 3,00 13,00 4,00 25,00 |
| Pronóstico 2 1,00 4,50 0,60 15,00 |
| Pronóstico 3 2,75 1,75 2,75 20,00 |
| Pronóstico 4 4,50 5,00 1,90 5,00 |
| Pronóstico 5 3,25 2,75 3,75 35,00 |
| Retorno esperado 2,90 5,40 2,60 20,00 |
| ($ / acción ) |
Además, la compañía financiera no desearía invertir mas de $100.000. Sentinal tiene las metas siguientes para su portafolio de inversiones:
P1 : Lograr un retorno esperado de 10% de la cantidad invertida.
P2 : Alcanzar un riesgo mínimo ( que se mide como la desviación absoluta de los retornos esperados ; un subrogado de la varianza )
P3 : Invertir 10% de la inversión total en el valor 4
P4 : Invertir un máximo de $100.000
Formulación del Modelo. El problema de portafolio puede formularse como un problema de programación meta de la manera siguiente:
1. Restricción en el retorno esperado . Puesto que el retorno esperado perseguido es 10% , se consideran tanto desviaciones positivas como negativas en las restricciones , esto es
2,90 x1 + 5,40 x2 + 2,60 x3 + 20,00 x4 + n1 – p1 = 0,10 ( 30 x1 + 45 x2 + 27 x3 + 53 x4 ) , que se simplifica para obtener
donde Xj = numero de acciones invertidas en el valor j
n1 = cantidad en que sublogra el retorno esperado
p1 = cantidad en que se sobrelogra el retorno esperado
2- Restricciones de minimización del riesgo
0,10 x1 + 7,60 x2 + 1,40 x3 + 5,00 x4 + n2 – p2 = 0
- 1,90 x1 – 0,90 x2 – 2,00 x3 – 5,00 x4 + n3 – p3 = 0
- 0,15 x1 – 3,65 x2 + 0,15 x3 + 0,00 x4 + n4 – p4 = 0
1,60 x1 – 0,40 x2 – 0,70 x3 – 15,00 x4 + n5 – p5 = 0
0,35x1 – 2,65 x2 + 1,15 x3 + 15,00 x4 + n6 – p6 = 0
donde n2, . . . , n6 = cantidad de desviación negativa con respecto a la meta de cero
p2, . . . , p6 = cantidad de desviación positiva respecto a cero
La restricción de riesgo , medida como el valor absoluto de las desviaciones de los retornos pronosticados de un valor con respecto a su retorno medio pronosticado , se determina de la tabla anterior de pronósticos . Por ejemplo, la primera restricción en esta sección se determina como sigue. Primero, determine las desviaciones de los retornos pronosticados por el primer analista con respecto a los retornos medios esperados para los valores del 1 al 4. Las desviaciones totales deseadas de estos pronósticos (multiplicadas por las acciones desconocidas invertidas en cada valor, Xj) deben ser iguales a cero, para minimizar el riesgo, como las desviaciones pueden estar por encima o por debajo de cero se incluyeron tanto las positivas como las negativas en estas restricciones
3 – Restricción de inversión en el valor 4
53,00 x4 = 0,10 ( 30,00 x1 + 45,00 x2 + 27,00 x3 + 53,00 x4 ) – n7 + p7
- 3,00x1 –4,50 x2 – 2,70 x3 + 47,70 x4 + n7 – p7 =0
donde n7=cantidad que falta para lograr invertir el 10% de los fondos invertidos en el valor 4
p7=cantidad sobrelograda de esa meta
Esta restricción plantea que se quiere invertir exactamente 10% de los fondos invertidos en el valor 4 ; por tal razón se han incluido las desviaciones positivas y negativas , y estarán presentes en la función objetivo
4 – Restricción de inversión total
30 x1 + 45 x2 + 27 x3 + 53 x4 + n8 = 100.000
donde n8 = cantidad en que no se satisface la meta
Solo se incluyo la variable de desviación negativa porque la restricción se limita a la cantidad de fondos disponibles
Modelo de Programación Meta Resumido
Minimizar Z = P1 ( n8 ) + P2 (n1 + p1 ) + P3 ( n2 + p2 + n3 + p3 + n4 + p4 + n5 + p5 + n6 + p6 ) + P4 ( n7 + p7 )
-0,10 x1 + 0,90 x2 – 0,10 x3 + 14,70 x4 + n1 – p1 = 0
0,10 x1 + 7,60 x2 + 1,40 x3 + 5,00 x4 + n2 – p2 = 0
-1,90 x1 – 0,90 x2 – 2,00 x3 – 5,00 x4 + n3 – p3 = 0
-0,15 x1 – 3,65 x2 + 0,15 x3 + 0,00 x4 + n4 – p4 = 0
1,60 x1 – 0,40 x2 – 0,70 x3 – 15,00 x4 + n5 – p5 = 0
0,35 x1 – 2,65 x2 + 1,15 x3 + 15,00 x4 +n6 – p6 = 0
-3,00 x1 – 4,50 x2 – 2,70 x3 + 47,70 x4 + n7 – p7 = 0
30,00 x1 + 45,00 x2 + 27,00 x3 + 53,00 x4 + n8 = 0
todo Xj , Ni , Pi >= 0
Para resolver un problema multicriterio por programación lineal, una de las metas tendría que escogerse y formularse en la función objetivo. Esta sería la meta de menor importancia. Las metas restantes necesitarían ser incorporadas en las restricciones del modelo. El algoritmo simplex sería para seleccionar una solución óptima que satisfaciera primero todas las restricciones, y solamente se preocupara posteriormente en la optimización de la función objetivo. Si no existe solución que satisfaga todas las restricciones, la meta en la función objetivo se tendría que eliminar y formular un nuevo problema de programación lineal.
La nueva formulación contendría entonces en la función objetivo la siguiente meta de menor importancia. Este proceso continuaría hasta obtener una solución factible.
Las características claves de un problema de programación meta son:
El modelo de programación meta se puede expresar en general en la forma siguiente:
Minimizar Z=S Wi(Pi+Ni)
Sujeto a S aij +N – P = bi
Xj, Ni, Pi ³ 0, todo i, j
Donde Xj es la variable de decisión j.
Wi es la prioridad asignada a la meta i
Ni es el grado de sublogro de la meta i.
Pi es el grado de sobrelogro de la meta i.
La principal diferencia entre la programación meta y la programación lineal, es que en la programación lineal todos los objetivos excepto el más débil deben satisfacerse exactamente, mientras que para la programación meta cada meta debe satisfacerse hasta donde esa posible.
Si se desea lograr una meta exactamente, tanto las variables de desviación como las variables que indican la cantidad de sublogro de la meta deben incluirse en la función objetivo que se debe minimizar. Si se debe evitar el sublogro, la variable de desviación correspondiente al sublogro debe incluirse en la función objetivo, pero la del sobrelogro podría eliminarse.
Por ejemplo, si uno desea hacer que la suma de dos variables X1 y X2 sea igual a 100, la restricción podría formularse así:
X1 + X2 + N1 - P1=100
Aquí N1 > 0 indicaría que la suma X1 y X2 sería menor que 100 y P1 > 0 indicaría que la suma sería mayor que 100. Para un logro exacto de la función objetivo( para minimizar) tendría que incluirse tanto P1 como N1. Para evitar el sublogro, solamente la variable N1 aparecería en la función objetivo.
Los factores de prioridad preestablecidos son los coeficientes asociados con las desviaciones en cada meta en la formulación de programación meta. Tienen la prioridad de que, si la meta i es más importante que la meta j, el factor Pi será mucho mayor que Pj. Esto significa que aún si las desviaciones de la meta j son muy grandes comparadas con las desviaciones de la meta i, el método simplex minimizará la función objetivo de acuerdo a la desviación de la meta i.
La ponderación cardinal puede ser usada(1) para indicar el valor relativo de las metas , uno podría asignar un factor de prioridad 3Pi a una meta tres veces más importante que la meta i, o (2) para indicar la importancia relativa del sobrelogro versus el sublogro de una meta. Si los pesos cardinales se asignan a las metas o prioridades, el problema puede resolverse como un programa convencional lineal.
En general, una solución simplex a problemas de programación meta es similar a problemas de programación lineal. Sin embargo, en el caso de programación meta , debemos trabajar en la función objetivo con factores de prioridad en lugar de pesos. El resultado de estos es que los términos de la fila de evaluación (Zj – Cj), en general, son términos que contienen uno o más factores de prioridad. Así, en la programación meta, para escoger las variables que entran a la base, buscamos el término (Zj – Cj) que contenga el valor positivo más alto en el factor de prioridad más alto que permanezca. Solamente después de que los términos más altos de prioridad Zj -Cj tomen valores no positivos, consideramos los términos de baja prioridad. En la programación meta, los términos Zj – Cj son vectores, mientras que en la programación lineal son escalares.
La programación meta es aplicable en las siguientes áreas:
Un método para obtener la clasificación de importancia es la comparación por pares. Al tomador de decisiones se le presentan todos los pares posibles y se le pregunta, qué meta de cada par es más importante. A cada meta se le da una clasificación basada en el número de veces que la meta tiene la clasificación más alta en las comparaciones por pares. Si el tomador de decisiones es consistente, la meta más importante debería tener el rango más elevado en las n-1 comparaciones apareadas(donde n es el número de metas), la siguiente mejor deberá tener la clasificación más lata en n-23 metas y así sucesivamente.
Problemas
Formule este problema como un problema de programación meta, para que el gerente de planta pueda tomar una decisión que cumpla sus metas tanto como se pueda.
- Evitar el sublogro del nivel de producción, que se ha fijado en 120 unidades del producto.
- Evitar que el tiempo extra en la máquina 2 exceda 3 horas.
- Minimizar la suma del tiempo extra(nota: asigne pesos diferenciados de acuerdo al costo relativo del tiempo extra- suponga que el costo de operación de las dos máquinas es el mismo).
- Evitar la subutilización del tiempo normal de trabajo( asigne pesos de acuerdo a la productividad relativa de las máquinas).
- Limitar la operación de tiempo extra de la línea a 5 horas.
- Evitar la subutilización de las horas normales de trabajo de ambas líneas.
- Limitar la suma de la operación de tiempo extra para ambos grupos.
Sujeto a X1 + X2 + N1 – P1=400
X1 + N2=240
X2 + N3=300
SUJETO A 50X1 + 60X2 + N1-P1=1.200
10X2+N2-P2=110
10X1+N3-P3=80
100X2+N4-P4=800
Datos de regresión que relaciona las ventas de tv al precio y producción
| Observación ventas de tv precio de tv producción de tv |
| Datos primarios |
| 1 100 10 100 |
| 2 50 15 100 |
| 3 130 13 70 |
| datos secundarios |
| 4 200 13 150 |
| 5 170 15 200 |
Suponga que tenemos un conocimiento a priori de que el incremento de precios de un tv tiene un efecto no negativo en la cantidad producida. Note también que consideramos los datos primarios como dos veces más importantes que los secundarios, pues se cree que son dos veces más exactos.
Preguntas de revisión
Respuestas a las preguntas de revisión
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